Amerigo voor de wiskundigen onder ons

[roubosga]

Wie kent niet de vertelling van de koning die het schaakspel kreeg toen het net was uitgevonden. Hij was zo blij dat hij de uitvinder bij zich liet roepen en vroeg wat hij er voor wilde hebben. Nou sprak de man, leg op het eerste veld een graankorrel, op de tweede twee, op de derde vier enzovoort.
De koning lachte schamper en liet een zak graan aanrukken. Maar wat bleek: het werd zoveel graan dat de wereldproductie niet toereikend was. (2^64)

Nu Amerigo.
Er zijn 16 tegels die je op vier manieren kunt aanleggen. Zijn dat 4x16x16 mogelijkheden?
Of is het nog veel meer? Even de foute ook meegeteld.
Het houdt me al een tijdje bezig, maar ik kom er niet uit.

En dan nog dit: Ik heb de drie Queenies, dus nog drie extra tegels die ik kan mixen.
Wie?

[JeVo]

Ok, even wat aannames, want ik ken het spel niet en op de BGG staan er een paar.

We hebben een vast patroon waar we de 16 tegels neerleggen (4x4 of 8x2, welk maakt eigenlijk niet uit, maar wel dat we 16 tegels op 16 plekken neerleggen)

Op elke tegel staat een pijl, en de pijl mag, naar keuze naar het Noorden oosten zuiden of westen wijzen.

de eerste tegel kan je dan op 16 lege vakken x 4 orientaties leggen : 64 mogelijkheden.
voor de tweede tegel heb je nog 15 vakken over x 4 orientaties : 60 mogelijkheden.

dus 64 x 60 x 56 x 52 x 48 x 44 x 40 x 36 x 32 x 28 x 24 x 20 x 16 x 12 x 8 x 4 mogelijkheden.
maar nu wiskundig:
het is (16x4)x(15x4)x(14x4)x ... x(2x4)x(1x4).
dus is het ook (16x15x14x ... x2x1) x (4x4x4x4x4x4x4x ...x4x4x4)
dus is het 16 faculteit maal 4 tot de macht 16
uitgeschreven: 16! x 4^16

even naar het schaakprobleem toerekenend:
16! = 15!x16 = 15! x 2^4
en 4^16 = 2^32
zijn we al bij 15! x 2^36

[syroit]

Doe het dan ook meteen voor Tobago
3 tegels, elk met een voor en achter zijde
en ze kunnen op verschillende volgordes liggen

A
B C
of
A
C B

enz

[dirk]

Ok, even wat aannames, want ik ken het spel niet en op de BGG staan er een paar.

We hebben een vast patroon waar we de 16 tegels neerleggen (4x4 of 8x2, welk maakt eigenlijk niet uit, maar wel dat we 16 tegels op 16 plekken neerleggen)

Op elke tegel staat een pijl, en de pijl mag, naar keuze naar het Noorden oosten zuiden of westen wijzen.

de eerste tegel kan je dan op 16 lege vakken x 4 orientaties leggen : 64 mogelijkheden.
voor de tweede tegel heb je nog 15 vakken over x 4 orientaties : 60 mogelijkheden.

dus 64 x 60 x 56 x 52 x 48 x 44 x 40 x 36 x 32 x 28 x 24 x 20 x 16 x 12 x 8 x 4 mogelijkheden.
maar nu wiskundig:
het is (16x4)x(15x4)x(14x4)x ... x(2x4)x(1x4).
dus is het ook (16x15x14x ... x2x1) x (4x4x4x4x4x4x4x ...x4x4x4)
dus is het 16 faculteit maal 4 tot de macht 16
uitgeschreven: 16! x 4^16

even naar het schaakprobleem toerekenend:
16! = 15!x16 = 15! x 2^4
en 4^16 = 2^32
zijn we al bij 15! x 2^36

Kan dit gesprek verder gevoerd worden in het Nederlands ??

[syroit]

Ik vond het antwoord "Heel veel" ook al goed

[JeVo]

15! x 2^36 =
15x(7x2)x13x(3x2x2)x11x(5x2)x9x(2x2x2)x7x(3x2)x5x(2x2)x3x2x1 x 2^36=
even factortjes 2 oogsten:
15x7x13x3x11x5x9x7x3x5x3x1x 2^11 x2^36 =
15x7x13x3x11x5x9x7x3x5x3x1x 2^46 =
nog verder naar priemgetallen: 3x5x7x13x3x11x5x3x3x7x3x5x3x1x 2^46 =
en nu op volgorde : 13x11x7x7x5x5x5x3x3x3x3x3x3x1x 2^46 =
dus 13 x 11 x 7^2 x 5^3 x 3^6 x 2^46

nu gaan we wat gekke vervangingen doen:
7^2 = 47 is ongeveer 48 = 1,5 x 32 = 1,5 x 2^5
5^3 = 125 is ongeveer 128 = 2^7
3^6 = 729 is ongveer 717 = 1,4 x 512 = 1,4 x 2^9

dus 13 x 11 x 1,5 x 1,4 x 2^5 x 2^7 x 2^9 x 2^46 =
dus 13 x 11 x 1,5 x 1,4 x 2^(5+7+9+46) =
dus 13 x 11 x 1,5 x 1,4 x 2^67 =
dus 13 x 11 x 1,5 x 1,4 x 8 x 2^64
dus veel meer dan op het schaakbord!!!!
he, kijk wat mooi 1,5 x 8 = 12
even herschrijven:
14 x 13 x 12 x (11 x 0,1) x 2^64
heel grof : 14 x 13 x 12 x 2^64 = 2184 x 2^64

[RoyalRumble69]

Hè JeVo, je was me net voor

[EEMBC]

Ik vind dat je je er wel gemakkelijk van af maakt. Veel vereenvoudigingen. En wiskunde is nog wel een exacte wetenschap.

Maar goed, we zullen het er mee doen. Deze keer zie ik het door de vingers.

[roubosga]

Ok, even wat aannames, want ik ken het spel niet en op de BGG staan er een paar.

We hebben een vast patroon waar we de 16 tegels neerleggen (4x4 of 8x2, welk maakt eigenlijk niet uit, maar wel dat we 16 tegels op 16 plekken neerleggen)

Op elke tegel staat een pijl, en de pijl mag, naar keuze naar het Noorden oosten zuiden of westen wijzen.

de eerste tegel kan je dan op 16 lege vakken x 4 orientaties leggen : 64 mogelijkheden.
voor de tweede tegel heb je nog 15 vakken over x 4 orientaties : 60 mogelijkheden.

dus 64 x 60 x 56 x 52 x 48 x 44 x 40 x 36 x 32 x 28 x 24 x 20 x 16 x 12 x 8 x 4 mogelijkheden.
maar nu wiskundig:
het is (16x4)x(15x4)x(14x4)x ... x(2x4)x(1x4).
dus is het ook (16x15x14x ... x2x1) x (4x4x4x4x4x4x4x ...x4x4x4)
dus is het 16 faculteit maal 4 tot de macht 16
uitgeschreven: 16! x 4^16

even naar het schaakprobleem toerekenend:
16! = 15!x16 = 15! x 2^4
en 4^16 = 2^32
zijn we al bij 15! x 2^36

Kan dit gesprek verder gevoerd worden in het Nederlands ??

Als ik rustig lees snap ik het. Bedankt JeVo, ik begrijp dat ik de drie uitbreidingen niet had hoeven kopen, tenminste niet voor de variatie

[JeVo]

Als ik rustig lees snap ik het. Bedankt JeVo, ik begrijp dat ik de drie uitbreidingen niet had hoeven kopen, tenminste niet voor de variatie

Even heel snel voor de drie uitbreidingen, zonder al die vereenvoudigingen:
nu heb je 19 kaartjes die in 4 orientaties op 16 velden terecht komen:
eerste veld 19 x 4 mogelijkheden
tweede 18 x 4 mogelijkheden
laatste veld 4 x 4 mogelijkheden.

wiskundig is dat : 19!/3! x 4 ^16 = 8,708 x 10^25 (een 8 met 25 nullen)

zonder extra kaartjes: 16! x 4^16 = 8,986 x 10^22 (bijna een 9 met maar 22 nullen)

[JeVo]

Doe het dan ook meteen voor Tobago
3 tegels, elk met een voor en achter zijde
en ze kunnen op verschillende volgordes liggen

A
B C
of
A
C B

enz

dat is natuurlijk een eitje, dat kan je bijna op je vingers uittellen:

je hebt drie plekken en drie tegels die voor en achter te gebruiken zijn:
voor de eerst plek 6 mogelijkheden. (3 tegels voor en achter)
voor de tweede plek nog 4 mogelijkheden. (2 tegels voor en achter)
voor de laatste plek nog 2 mogelijken. (1 tegel voor en achter)

6x4x2=
48

[pijll]

6x4x2=
48

Dit is volgens mij niet het juiste aantal.

Als je voor de eerste tegel A kiest, voor de tweede B en voor de derde C, krijg je hetzelfde bord als wanneer je voor de eerste tegel B kiest, voor de tweede C, en voor de derde A.

Het bord bij Tobago is namelijk rotatie-symmetrisch, en dus moet je het totaal aantal mogelijkheden door 3 delen.

Maar het bijzondere aan de borddelen van Tobago is dat je ze op twee manieren tegen elkaar kan leggen, waarbij de borddelen allemaal een hex verschoven zijn.

Het totaal aantal mogelijkheden bij Tobago is daarom 48/3*2 = 32.

Het aantal mogelijkheden bij Amerigo is ook lager dan 16!x2^16. Vanwege de symmetrie is dit een factor 4 te hoog, 16! x 4^15, dus (of 15! x 4^17).

[JeVo]

Het aantal mogelijkheden bij Amerigo is ook lager dan 16!x2^16. Vanwege de symmetrie is dit een factor 4 te hoog, 16! x 4^15, dus (of 15! x 4^17).

Je statement is correct, als je een 4x4 bord neerlegt.
Maar dat was niet een van mijn aannames (omdat ik het spel niet ken).

bij 4x4 layout is elk bord draaisymmetrisch gelijk aan 3 andere borden en is de uitkomst een factor 4 te groot.
maar je nieuwe getal is niet goed, omdat je van 2^16 springt naar 4^15.

volgens mij is het goede getal: 16! x 2^16 / 4,
oftewel 16! x 2^16 / 2^2
oftewel 16! x 2^14